| Γλώσσα : |
|
| Εγκυκλοπαίδεια της κοινότητας |Εγκυκλοπαίδεια Απαντήσεις |Υποβολή ερωτήματος |Λεξιλόγιο Γνώση |Ανεβάστε τη γνώση |
Επέκταση Field |
|
Μαθηματικά, πιο συγκεκριμένα στην αφηρημένη άλγεβρα, μια επέκταση του πεδίου (επέκταση του πεδίου) είναι ο τομέας της το κύριο αντικείμενο της μελέτης. Η γενική ιδέα είναι να ξεκινήσετε από μια δομή τομέα βάσης κατά κάποιο τρόπο ένα μεγαλύτερο πεδίο βάσης περιέχει ένα domain και να πληρούν κάποια άλλη φύση. Ορισμός Έστω L είναι ένας τομέας. Εάν το Κ είναι ένα υποσύνολο του L, L είναι ο τομέας της πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού για κάθε ένα στοιχείο Κ είναι κλειστή και η προσθήκη και η αντίστροφη πολλαπλασιασμό ακόμα στο Κ, τότε μπορούμε να πούμε ότι το Κ είναι ένα υποπεδίο της L, L, όπως το Κ Το πεδίο επέκτασης, που ονομάζεται το Κ επέκταση πεδίου, συμβολίζεται με L / Κ.L περιέχουν K κάθε υπο-περιοχή που ονομάζεται πεδίο επέκταση L / K είναι ένα ενδιάμεσο τομέα (ή την ενδιάμεση επέκταση ή υπο-επέκταση). Δεδομένου ενός πεδίου επέκτασης L / Κ, και L είναι ένα υποσύνολο του S, γράφουμε K (S) είναι το L περιέχει ένα ελάχιστο Κ και S τον τομέα. Λέμε ότι K (S) από τα στοιχεία προστίθενται στο παραγόμενης S K. Αν S περιέχει μόνο ένα στοιχείο s, που συνήθως K ({s}) κατά νου να K (s). Αυτή η μορφή L επέκτασης πεδίου = Κ (-ες) ονομάζεται μια ενιαία επέκταση, και s ονομάζεται η επέκταση της πρωτόγονης στοιχείου. Λαμβάνοντας υπόψη μια επέκταση πεδίο Λ / Κ, τότε Κ και L μπορεί να θεωρηθεί ως ένα διανυσματικό χώρο. L είναι το στοιχείο του φορέα και Κ είναι ο αριθμός των στοιχείων. Επιπλέον φορέα είναι L Επιπλέον, ο αριθμός του πολλαπλασιασμού πολλαπλασιάζεται με τα στοιχεία της Κ στα στοιχεία L. Η διάσταση του χώρου φορέας ονομάζεται ο βαθμός διαστολής, συμβολίζεται με [L: K]. Βαθμό μια επέκταση (δηλ., το L είναι ίσο με Κ) ονομάζεται τετριμμένες επέκτασης. 2 και 3, ο βαθμός διαστολής της επέκτασης ονομάζονται τετραγωνική και κυβική διαστολή. Με ένα πεπερασμένο ή άπειρο βαθμό καλείται η απόφαση μια πεπερασμένη επέκταση ή την επέκταση της απεριόριστης επέκτασης. Βασικές ιδιότητες Αν L / Κ είναι μια επέκταση πεδίου, τότε L και Κ έχουν την ίδια 0 και 1. Πρόσθετη ομάδα (Κ, ) είναι (L, ) μιας υποομάδας της πολλαπλασιαστική ομάδα (Κ-{0}, *) είναι η (L-{0}, *) είναι μια υποομάδα. Ειδικότερα, αν το Χ είναι ένα στοιχείο του Κ, τότε η αντίστροφη πρόσθετο της Κ-χ και το αντίστροφο πρόσθετο της ίδιας L? Ίδια μη μηδενική στοιχείων του αντιστρόφου multiplicative Κ είναι επίσης αλήθεια. Ειδικότερα, L και Κ, τα ίδια χαρακτηριστικά. Στοιχεία της άλγεβρας και πέρα Αν το L είναι μια επέκταση του Κ, Κ L σε ένα στοιχείο, αν μη μηδενική ρίζες ενός πολυωνύμου ονομάζεται άλγεβρα Κ. Δεν είναι μια αλγεβρική στοιχείο που ονομάζεται υπερβατική. Παράδειγμα (1) Κατά την C / R, i είναι η άλγεβρα, διότι είναι μια ρίζα του x ² 1? (2) Στον τομέα της Ε / Ε σε, e είναι η υπερβατική, επειδή δεν υπάρχει πολυώνυμο με την ορθολογική e συντελεστές είναι η ρίζα? Αν κάθε στοιχείο του L είναι αλγεβρικό πάνω από το K, τότε η επέκταση της L / K λέγεται αλγεβρική επέκταση? Αλλιώς ονομάζεται υπερβατική. Αν το L είναι επιπλέον των στοιχείων σε Κ είναι υπερβατικό πάνω από το K, τότε αυτή η επέκταση καλείται καθαρή υπέρβαση. Μπορεί να αποδειχθεί μια επέκταση είναι αλγεβρική αν και μόνο αν το παιδί είναι η επέκταση και πεπερασμένο της. Ειδικότερα, κάθε επέκταση πεπερασμένο είναι αλγεβρικές. Παράδειγμα C / R και Q (√ 2) / Q, είναι περιορισμένος, είναι αλγεβρικό. R / Q είναι υπερβατική, αλλά δεν είναι καθαρή υπέρβαση. Αυθαίρετη K πεδίο έχει ένα αλγεβρικό κλείσιμο? Ουσιαστικά αυτό είναι το μεγαλύτερο στην επέκταση στον τομέα Κ για την άλγεβρα που περιέχει όλες τις ρίζες των πολυωνυμικών εξισώσεων K-factor. Τυπική, να διαχωριστούν και Galois επέκταση Μια επέκταση πεδίου L / K ονομάζεται κανονικά εάν K [X] έχει μία ρίζα L κάθε ανάγωγο πολυώνυμο μπορεί να είναι πλήρως αποσυντεθεί σε μια γραμμική αποτέλεσμα σε L-τύπο του προϊόντος. Κάθε αλγεβρική επέκταση F / Κ έχει μια κανονική L κλεισίματος, η οποία είναι μια επέκταση του πεδίου F τέτοιο ώστε L / Κ είναι μια τακτική και είναι να ανταποκριθεί στην ελάχιστη επέκταση αυτής της φύσης. Μια αλγεβρική επέκταση L / K ονομάζεται διαχωριστούν αν κάθε στοιχείο του L το ελάχιστο πολυώνυμο πάνω από το K είναι διαχωρίσιμη, δηλαδή K είναι ένα αλγεβρικό κλείσιμο δεν re-root. Η επέκταση Galois είναι τόσο τυπική και μπορεί να διαχωρισθεί επέκταση τομέα. Σε μια προέκταση πεδίο Λ / Κ, L είναι το σύνολο Κ-αποτελούμενο από την ίδια ομάδα, που ονομάζεται L / Κ της ομάδας Galois, συμβολίζεται ως Gal (L / K). Στο μεσαίο χώρο και την υποομάδα Galois μια αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ, αυτό είναι το θεμελιώδες θεώρημα της θεωρίας Galois. Σημείωση Mark L / K είναι καθαρά τυπική, δεν σημαίνει δαχτυλίδι πηλίκου ή ομάδα πηλίκο, ή οποιαδήποτε άλλη μορφή της διαίρεσης. Σε κάποια βιβλιογραφία, χρησιμοποιώντας την L συμβολισμό: Κ. Συχνά θέλουν ένα μικρότερο τομέα δεν περιλαμβάνεται στην ευρύτερη περιοχή, αλλά όταν μιλάμε για την φυσική επέκταση τομέα ενσωμάτωση. Για το σκοπό αυτό, στην αφηρημένη επέκταση τομέα, όπως οι δύο τομείς του ένα δαχτυλίδι μεταξύ homomorphism. Κάθε σύνδεσμος μεταξύ των τομέων homomorphism είναι injective, είναι ακριβώς ο τομέας morphisms πεδίο κατηγορίας επέκτασης. Στην παραπάνω συζήτηση, μπορούμε, να αγνοήσουμε monomorphism, που ασχολούνται με ένα πραγματικό subdomain. |
| Χρήστης Ανασκόπηση |
|
Δεν υπάρχουν ακόμη σχόλια |
